Теория вероятностей в артиллерии. Часть 1. Разрушение одиночной ДЗОТ

Введение

Артиллерийское дело всегда было тесно связано со многими разделами математики. Движение снаряда в канале ствола орудия, его полёт в воздушной среде, а также его действие на различного рода преграды являются сложными комплексами физических явлений. Для точного ведения огня необходимо рассмотреть действие очень многих причин на процесс стрельбы, выделить из них главные и отбросить несущественные, чтобы создать его физическую модель. Как только такая модель создана, физика и химия отходят в сторону и на первую роль выходит математика — нужно аналитически или численно решить уравнения и неравенства, требуемые для определения искомых величин — например максимальной дальности огня, дульной энергии снаряда или износа канала ствола. По большому счёту все эти задачи являются детерминированными — зная конструкцию орудия и боеприпасов к нему, используемые в их изготовлении материалы, разработчики в лице конструкторов и учёных получат необходимые баллистические сведения о новой или модернизированной артиллерийской системе ещё до того, как она будет отстреляна на полигоне.

Но в погоне за точностью, дальнобойностью и пробивным действием не следует забывать и об экономности: от трёх первых факторов не будет никакого толка, если снаряды требуют экзотичных и редких материалов для своего изготовления, а орудия можно будет сделать только с привлечением самых что ни на есть высококвалифицированных рабочих в количестве пары штук в месяц. Здесь в игру вступают инженеры-технологи, которые по мере возможностей стараются объединить идеи учёных и конструкторов с суровой реальностью производственных возможностей. В итоге применительно к артиллерийской системе и боеприпасам для неё получается некоторый компромисс между изначальным проектом, и теми орудиями и снарядами, которые поставляются в войска. Причём далеко не всегда получается так, чтобы имелось изобилие боеприпасов и можно было бы не оглядываться на их расход на учениях и в бою. Здесь скорее имеет место обратная ситуация, когда этот расход нужно тщательно планировать, дабы сберечь не такой уж бесконечный запас снарядов и не беспредельный ресурс орудий. Не случайно именно это весьма настойчиво рекомендуется в наставлениях, руководствах службы и таблицах стрельбы. Поскольку на движение снаряда влияет целый сонм случайных изменений многих параметров, детерминистические методы расчёта дают только усреднённый результат, а на практике реальные значения величин имеют некоторый разброс около полученных из теории значений. Эти отклонения применительно к координатам точки падения снаряда называются рассеиванием. Из-за него даже в случае максимально точной наводки орудия поражение цели вовсе не является гарантированным результатом. Как следствие, возникает необходимость оценки количества снарядов, требуемых для выполнения учебной или боевой задачи. Тут на помощь артиллеристу вновь приходит математика, точнее её раздел, называемый теорией вероятности — учение о случайных событиях и закономерностях в их мире. В данной статье автор как раз и предлагает рассмотреть пример её использования на практическом примере, который является частью профессиональной подготовки артиллеристов.

Постановка задачи

Рассмотрим ту же мысленную учебно-боевую задачу, которая обсуждалась в предыдущей статье «Что скрывается за внешней простотой» — 152-мм гаубица обр. 1943 г. (Д-1) обстреливает дерево-земляную огневую точку (ДЗОТ) условного противника, удалённую от огневой позиции на 5000 метров. Будем считать, что наводка орудия с учётом угла места, деривации, метеорологических условий, состояния артиллерийской системы и боеприпасов уже точно выполнена — то есть центр эллипса рассеивания координат точек разрывов совмещён с целью. Для ведения огня назначена осколочно-фугасная граната ОФ-530 с установкой взрывателя на замедленное (фугасное) действие, метательный заряд можно использовать любой. Необходимо оценить расход гранат, требуемых для разрушения ДЗОТ.

Очевидно, что для решения поставленной задачи нужна и некоторая информация о цели и разрушительных свойствах используемых боеприпасов. Пусть обитаемое пространство вражеской ДЗОТ в плане представляет собой прямоугольник со сторонами 3×4 м. Также известно, что при взрыве гранаты ОФ-530 в грунте средней плотности образуется воронка диаметром 3,5 м и глубиной 1,2 м. Поэтому для разрушения ДЗОТ в общем случае прямое попадание в него не требуется. Будем считать, что если точка разрыва удалена не далее чем на 1 метр по каждой из своих координат в горизонтальной плоскости от любой точки обитаемого пространства ДЗОТ, последняя гарантированно разрушается совместным действием механического воздействия, ударной волны и осколков. Иными словами, граната должна попасть тоже в прямоугольную область размером 5×6 м, центр которой совпадает с центром обитаемого пространства ДЗОТ.

Определения и допущения

Строгие математические определения нужных нам для решения поставленной задачи понятий и величин можно найти в любом учебнике по теории вероятностей. На субъективный взгляд автора, в этом вопросе ничто не заменит замечательную книгу Елены Сергеевны Вентцель «Теория вероятностей», выдержавшую целый ряд переизданий, да ещё и написанную по материалам лекций по теории стрельбы в одном из военных высших учебных заведений. Здесь же поневоле для краткости изложения придётся воспользоваться некоторыми упрощениями и приближениями, которые, тем не менее, дадут достаточно точный результат.

Математические величины

Введём следующие обозначения:

P₁ — вероятность разрушения ДЗОТ одним выстрелом. Её можно определить как отношение числа попавших в определённую выше окрестность ДЗОТ гранат к общему числу израсходованных боеприпасов N, если условия каждого выстрела и полёта снаряда совершенно идентичны, а N стремится к бесконечности. В реальности, конечно, количество выстрелов ограничено и это отношение является так называемой относительной частотой требуемого нам события (попадания гранаты в заданную область и разрушения ДЗОТ как следствие). Но уже при N в диапазоне 10—20 отличие вероятности от относительной частоты уже не столь велико; а при N порядка 100 им уже можно пренебречь для любых практических расчётов.

P_i — вероятность того, что ДЗОТ окажется разрушенным после i = 2, 3, 4, … выстрелов; при условии, что все выпущенные ранее гранаты — 1-я, … , (i-1)-я — не попали в заданную окрестность цели. Это является следствием того факта, что для разрушения ДЗОТ достаточно только одного близкого попадания и после него продолжать стрельбу просто незачем. Соответственно математическое выражение для P_i для этого условия согласно правилам сложения и умножения вероятностей независимых друг от друга событий будет следующим:

P_i = P₁ + (1 - P₁) × P₁ + (1 - P₁)² × P₁ + … + (1 - P₁)^{i - 1} × P₁

Для других боевых задач, когда цель выводится из строя не гарантированно, а с некоторой вероятностью, условие и формула для P_i могут быть гораздо более сложными.

F(x, y) — двумерная плотность вероятности разрушения ДЗОТ одним выстрелом. Это действительная функция от координат x и y в горизонтальной плоскости, обладающая тем свойством, что при достаточно малых размерах прямоугольной области Δx × Δy в окрестности точки с координатами (x₀, y₀) вероятность P₁ может быть вычислена по формуле:

P₁ = F(x₀, y₀) × Δx × Δy

Критерием малости Δx и Δy можно считать небольшое изменение функции F (например менее 1%) при любом изменении её аргументов в диапазоне

(x₀ - ½Δx … x₀ + ½Δx, y₀ - ½Δy … y₀ + ½Δy)

Более строгое определение плотности вероятности уже требует знания высшей математики, поскольку P₁ будет ни чем иным, как двумерным интегралом от F(x, y) по требуемой нам окрестности. Однако для наших целей вполне пригодится и сильно упрощённый его вариант.

Алгоритм решения и используемые приближения

В артиллерийском деле принято считать функцию F(x, y) подчиняющейся так называемому нормальному закону распределения случайной величины — когда отклонение от её среднего значения вызывается совместным действием многих и независимых друг от друга факторов. Ещё это распределение называют гауссовым, в честь подробно исследовавшего его знаменитого немецкого математика Карла Гаусса. В подавляющем большинстве случаев это допущение хорошо соответствует действительности — небольшие случайные вариации в массе снаряда, сообщаемой ему начальной скорости (как по модулю, так и по направлению) и атмосферных условий друг с другом ни статистически, ни причинно между собой не связаны. Бывают однако и исключения — разброс точек попадания шрапнельных пуль или стреловидных поражающих элементов на горизонтальную плоскость при разрыве боеприпаса на нисходящей ветви своей траектории нормальному закону не подчиняется. Также закон распределения точек попадания снарядов на наклонную плоскую поверхность при небольших углах встречи отличен от нормального.

Математически функция F записывается следующим образом:

F(x, y) = exp(-x² / 2S_x²) × exp(-y² / 2S_y²) / (2 × π × S_x × S_y) ,

где начало координат совмещено с целью; ось X считается направленной вдоль проекции линии цели на горизонтальную плоскость уровня цели по высоте, а ось Y перпендикулярна оси X и лежит в той же плоскости. Величины S_Д и S_б называются стандартными или среднеквадратичными отклонениями по осям X и Y соответственно. Под exp(z) понимается показательная функция с возводимым в степень z основанием натурального логарифма e ≈ 2,7182… .

Однако в артиллерийском деле принято использовать в расчётах не стандартные, а так называемые срединные отклонения, которые составляют приблизительно 2/3 от стандартных отклонений для гауссова распределения:

Срединное отклонение по дальности — В_Д = 0,67 × S_x

Боковое срединное отклонение (или срединное отклонение по фронту) — В_б = 0,67 × S_y

Для практического применения задание F(x, y) в аналитическом виде подходит плохо. Только ЭВМ способна быстро рассчитать нам вероятность по известным Δx и Δy, В_Д и В_б (последние приведены в таблицах стрельбы); даже с помощью инженерного калькулятора это займёт достаточно много времени с высокой вероятностью ошибки при выполнении операций под действием стресса. Однако нормальное распределение обладает рядом замечательных свойств, строго математический вывод которых превосходно изложен в учебнике Е. С. Вентцель. Нам будет полезно следующее из них: при большом числе выстрелов 50% X-координат попаданий попадут в отрезок от -В_Д до В_Д. Если увеличить этот отрезок в два раза, то внутри него очутится 82% всех попаданий, а если в три — то 96%. Оставшимися 4% на практике обычно пренебрегают, причём львиная доля из них уложится в ещё раз расширенный интервал от -4В_Д до 4В_Д. Абсолютно также дело обстоит и с аналогичной величиной по оси Y, только срединное отклонение здесь равно В_б. Такой характер распределения координат точек попаданий довольно удобен при расчётах на практике, именно этим (с определённой долей исторической традиции) и объясняется использование срединного отклонения в артиллерийском деле вместо среднеквадратичного, которое более привычно для учёных и статистиков. Для сравнения, при нормальном законе распределения случайной величины с нулевым средним в интервал от минус среднеквадратичного отклонения до плюс среднеквадратичного отклонения попадает около 69% всех выпавших её значений, вместо 50% для срединного отклонения.

В нашем случае отклонения по дальности и фронту не зависят друг от друга, что математически выражается в возможности представить функцию F(x, y) в виде произведения F’(x) × F”(y). Без особого ущерба для точности в каждом из интервалов с шагом в одно срединное отклонение значения функций F’(x) и F”(y) можно считать постоянными. Эти значения должны при их перемножении на длину интервала давать тот же результат, что и определённый интеграл от каждой из этих функций на этом интервале. Таким образом их плавные колоколообразные формы подменяются чем-то вроде ступенчатого пьедестала. Это существеннейшим образом упрощает счёт, позволяя обойтись только тривиальными арифметическими действиями. В самом деле, вероятность попадания в прямоугольник со сторонами 2×В_Д и 2×В_б равна 25% — поскольку приблизительно в половине случаев при большом числе выстрелов произойдёт попадание в нужный интервал по оси X и, как следствие независимости отклонений по дальности и фронту, только половина от этой половины количества разрывов ляжет требуемым обращом ещё и по оси Y. В силу сделанного выше допущения шансы попасть в любые точки внутри рассматриваемого прямоугольника одинаковы, поэтому вероятность попасть в цель площадью S внутри него есть не что иное, как одна четвёртая от отношения S к его площади:

P₁ = ¼ × S / (4 × В_Д × В_б)

Теперь у нас есть практически пригодный алгоритм решения поставленной задачи. Осталось лишь подставить в него S — площадь ДЗОТ и его близкой окрестности в плане, равную 5 × 6 = 30 м², и значения В_Д и В_б для различных метательных зарядов из таблиц стрельбы для 152-мм гаубицы обр. 1943 г. (Д-1).

Результаты расчётов

Расчёт вероятности разрушения удалённого на 5000 м ДЗОТ с S = 30 м² для различных зарядов одним выстрелом
Заряд	ВД	Вб	P1 = ¼×S / (4×ВД×Вб)	P1 теор.
	м	м	безразмерно	безразмерно
Полный	18	2,6	0,040	0,043
Первый	18	3,0	0,034	0,038
Второй	18	3,2	0,033	0,036
Третий	17	3,4	0,032	0,036
Четвёртый	24	3,4	0,023	0,025
Пятый	26	3,5	0,021	0,023
Шестой	28	3,7	0,018	0,020

Приведённая в самом правом столбце величина P₁ теор. является рассчитанной путём интегрирования по точной формуле вероятностью разрушения ДЗОТ одним выстрелом. Как видно из данных таблицы, упрощённый алгоритм вносит некоторую погрешность, которая тем больше, чем выше кучность боя орудия — с возрастанием срединных отклонений В_Д и В_б приближённый результат стремится к точному. Это связано с тем, что в нужном диапазоне изменения аргументов x и y при больши́х В_Д и В_б функция F меняется мало и вполне может быть заменена неким постоянным значением. По дальности это условие заведомо выполняется (наименьшее В_Д = 17 метрам в разы превосходит половину продольного размера окрестности ДЗОТ), а вот по фронту — не совсем (наименьшее В_б = 2,6 метров лишь чуть больше, чем половина поперечного размера цели), см. следующий рисунок:

Эллипс рассеивания с полуосями В_Д = 28 м и В_б = 3,7 м у 152-мм гаубицы обр. 1943 г. (Д-1) для шестого заряда и дальности 5000 метров. В закрашенную красным цветом площадь приходится около 20% всех разрывов при ударной стрельбе. Бордовым обозначена окрестность ДЗОТ, попадание в которую ведёт к выполнению поставленной боевой задачи.

Впрочем максимальное отличие в 4% между точными и приближёнными величинами на практике сколь нибудь значимой роли не играет, в чём можно убедиться, рассмотрев вероятности разрушения цели серией из 10, 20, 30 и 40 выстрелов:

Расчёт вероятности разрушения удалённого на 5000 м ДЗОТ с S = 30 м² для различных зарядов серией из N выстрелов
Заряд	P10	P20	P30	P40
Полный	0,34 / 0,36	0,56 / 0,58	0,71 / 0,73	0,80 / 0,83
Первый	0,29 / 0,32	0,50 / 0,54	0,65 / 0,69	0,75 / 0,79
Второй	0,29 / 0,31	0,49 / 0,52	0,63 / 0,67	0,74 / 0,77
Третий	0,28 / 0,31	0,48 / 0,52	0,62 / 0,67	0,73 / 0,77
Четвёртый	0,21 / 0,22	0,37 / 0,40	0,50 / 0,53	0,61 / 0,64
Пятый	0,19 / 0,21	0,35 / 0,37	0,47 / 0,50	0,57 / 0,61
Шестой	0,17 / 0,18	0,30 / 0,33	0,42 / 0,45	0,52 / 0,55
Значение до наклонной черты соответствует вероятности, рассчитанной по приближённому алгоритму, после — точному.

Стоит заметить, что точная формула даёт чуть больший шанс на успех, поскольку внутри интервала от -В_Д до В_Д попадания всё же распределены не равномерно, как предполагается в используемом приближении, а тяготеют к нулю. Но, как видно из следующей таблицы этот выигрыш не является сколь-нибудь существенно значимым в пересчёте на количество снарядов, требуемое для поражения цели с заданной вероятностью, например 90%:

Таблица для количества снарядов.

Комментарии

Как мог бы заметить сам Капитан Очевидность, вероятность поразить цель зависит от номера метательного заряда и при заданном удалении и отсутствии препятствий на пути снаряда имеется определённая возможность повысить шансы на успех, выбрав полный заряд с наименьшей крутизной траектории. Это рекомендовалось ещё в другой замечательной книге «Артиллерия», изданной почти 60 лет назад, в 1953 году. Но при этом надо учитывать тот факт, что стрельба на полном заряде ведёт к быстрому износу орудия, а на малых зарядах при приблизительно вдвое меньшей вероятности попадания ресурс ствола возрастает в 4-5 (а иногда и больше) раз. Поэтому надо найти определённый компромисс между шансами на попадание (т. е. расходом боеприпасов) и сбережением артиллерийской системы. В нашем случае третий заряд будет неплохим выбором с этой точки зрения.

Стоит также обратить внимание на то обстоятельство, что вторая таблица в пух и прах развеивает популярное поверье о том, что если шансы на успех в отдельно взятой и независимой от исхода других попытке составляют 4%, то двадцати пяти попыток будет достаточно для гарантированного выпадения благоприятного исхода. Как видно из данных стрельбы на полном заряде, поразить цель, имея только 25 выстрелов, удастся только в 65% случаев. Если нам нужно обстрелять, к примеру, 10 ДЗОТ на удалении в 5000 метров и для каждой из них предусмотреть 25 осколочно-фугасных гранат, то весьма высоки шансы на то, что от одной до трёх целей сохранят боеспособность. Это много! В связи с этим можно сделать некоторое «лирическое отступление» в область … компьютерных игр, а именно фэнтезийной походовой стратегии Heroes of Might and Magic V. Среди разнообразных существ, которыми игрок может укомплектовать своё войско (или встретить в составе вражеских сил), есть привидения. Волей разработчиков этой бесплотной нежити дарована способность в трети случаев не получать урон от противника. И по результатам тестов серии уклонений от ударов могли оказываться куда более длинными, чем три подряд таких события, при том, что сами привидения врагу урон наносят. Это существенно стало влиять на исход боя, поэтому создателям игры пришлось ограничить эту способность, добавив к ней условие «не больше трёх уклонений подряд». Естественно, что в реальной жизни такого «божественного вмешательства» ожидать не приходится и надо быть готовым, что в ряде случаев число попыток будет куда больше, чем подсказывает интуиция на базе житейского опыта. На том, собственно говоря, игорные дома с незапамятных времён и делают свой бизнес. А в артиллерии, если мы хотим гарантированно выполнить поставленную задачу, приходится полагаться на работу тыла и снабженческих служб, чтобы снарядов всегда хватало — поскольку даже при самой точной наводке и при самом лучшем уходе за орудием рассеивание неизбежно.